Algorithmes efficaces pour l'etude des zeros reels des systemes polynomiaux

Abstract

La premiere partie de cette these est consacree a l'elaboration d'algorithmes efficaces pour l'etude des systemes polynomiaux zero-dimensionnels. En considerant connue une base de groebner (pour un ordre arbitraire sur les monomes), nous construisons une representation de l'algebre quotient et nous proposons de nouveaux algorithmes pour le calcul d'une representation univariee rationnelle du systeme etudie. Nous developpons ensuite une famille de methodes permettant de compter le nombre de zeros reels d'un systeme zero-dimensionnel. Une etude detaillee de la complexite est effectuee et une attention particuliere est accordee au cas des systemes a coefficients rationnels. La deuxieme partie presente trois applications de ces nouveaux algorithmes, sur des problemes issus de domaines divers: robots paralleles, synthese de bancs de filtres, interpolation de birkhoff. Enfin, quelques suggestions sont faites pour optimiser ces methodes dans le cas particulier des systemes a coefficients rationnels ou pour utiliser les resultats developpes dans cette these pour l'etude de problemes plus generaux (theorie existentielle des reels, elimination des quantificateurs)