Design and Analysis of Multidimensional Data Structures

摘要

Aquesta tesi està dedicada al disseny i a l'anàlisi d'estructures de dades multidimensionals, és a dir, estructures de dades que serveixen per emmagatzemar registres $K$-dimensionals que solen representar-se com a punts en l'espai $[0,1]^K$. Aquestes estructures tenen aplicacions en diverses àrees de la informàtica com poden ser els sistemes d'informació geogràfica, la robòtica, el processament d'imatges, la world wide web, el data mining, entre d'altres. <br/><br/>Les estructures de dades multidimensionals també es poden utilitzar com a indexos d'estructures de dades que emmagatzemen, possiblement en memòria externa, dades més complexes que els punts.<br/><br/>Les estructures de dades multidimensionals han d'oferir la possibilitat de realitzar operacions d'inserció i esborrat de claus dinàmicament, a més de permetre realitzar cerques anomenades associatives. Exemples d'aquest tipus de cerques són les cerques per rangs ortogonals (quins punts cauen dintre d'un hiper-rectangle donat?) i les cerques del veí més proper (quin és el punt més proper a un punt donat?).<br/><br/>Podem dividir les contribucions d'aquesta tesi en dues parts: <br/><br/>La primera part està relacionada amb el disseny d'estructures de dades per a punts multidimensionals. Inclou el disseny d'arbres binaris $K$-dimensionals al·leatoritzats (Randomized $K$-d trees), el d'arbres quaternaris al·leatoritzats (Randomized quad trees) i el d'arbres multidimensionals amb punters de referència (Fingered multidimensional trees).<br/><br/>La segona part analitza el comportament de les estructures de dades multidimensionals. En particular, s'analitza el cost mitjà de les cerques parcials en arbres $K$-dimensionals relaxats, i el de les cerques per rang en diverses estructures de dades multidimensionals.<br/><br/> Respecte al disseny d'estructures de dades multidimensionals, proposem algorismes al·leatoritzats d'inserció i esborrat de registres per als arbres $K$-dimensionals i per als arbres quaternaris. Aquests algorismes produeixen arbres aleatoris, independentment de l'ordre d'inserció dels registres i desprès de qualsevol seqüència d'insercions i esborrats. De fet, el comportament esperat de les estructures produïdes mitjançant els algorismes al·leatoritzats és independent de la distribució de les dades d'entrada, tot i conservant la simplicitat i la flexibilitat dels arbres $K$-dimensionals i quaternaris estàndard. Introduïm també els arbres multidimensionals amb punters de referència. Això permet que les estructures multidimensionals puguin aprofitar l'anomenada localitat de referència en cerques associatives altament correlacionades.<br/><br/>I respecte de l'anàlisi d'estructures de dades multidimensionals, primer analitzem el cost esperat de las cerques parcials en els arbres $K$-dimensionals relaxats. Seguidament utilitzem aquest resultat com a base per a l'anàlisi de les cerques per rangs ortogonals, juntament amb arguments combinatoris i geomètrics. D'aquesta manera obtenim un estimat asimptòtic precís del cost de les cerques per rangs ortogonals en els arbres $K$-dimensionals aleatoris. Finalment, mostrem que les tècniques utilitzades es poden estendre fàcilment a d'altres estructures de dades i per tant proporcionem una anàlisi exacta del cost mitjà de cerques per rang en estructures de dades com són els arbres $K$-dimensionals estàndard, els arbres quaternaris, els tries quaternaris i els tries $K$-dimensionals. Esta tesis está dedicada al diseño y al análisis de estructuras de datos multidimensionales; es decir, estructuras de datos específicas para almacenar registros $K$-dimensionales que suelen representarse como puntos en el espacio $[0,1]^K$. Estas estructuras de datos tienen aplicaciones en diversas áreas de la informática como son: los sistemas de información geográfica, la robótica, el procesamiento de imágenes, la world wide web o data mining, entre otras.<br/&